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In mwcwgeometria solida il mwdatronco di cono è un mwdqcono al quale è stata tagliata la punta con un piano parallelo alla base. Qualora il piano non sia parallelo alla base, la sezione ottenuta è un'ellisse anziché un cerchio.

• Formule

• Dimostrazione della formula del volume

• Volume del tronco di cono ellittico

• Comparazione con il cilindro

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Sia mweq T {\displaystyle T} un tronco di cono d'mwegaltezza mwew h {\displaystyle h} e le cui basi hanno raggi mwfa R {\displaystyle R} e mwfq r {\displaystyle r} . Il mwfgvolume del tronco è pari a

mwgq V = 1 3 π π h ( R 2 + r R + r 2 ) . {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi h(R^{2}+rR+r^{2}).}

La superficie laterale mwgw S l {\displaystyle S_{l}} del tronco di cono è data dalla formula

mwhg S l = π π ( r + R ) a {\displaystyle S_{l}=\pi (r+R)a}

dove mwia a {\displaystyle a} è l'mwiqapotema, la lunghezza del lato obliquo del tronco di cono, pari a

mwja a = h 2 + ( R − − r ) 2 . {\displaystyle a={\sqrt {h^{2}+(R-r)^{2}}}.}

La superficie totale del cono è data dalla formula:

mwka S t = S l + S b , {\displaystyle S_{t}=S_{l}+S_{b},}

oppure

mwla S t = S l + π π ( R 2 + r 2 ) . {\displaystyle S_{t}=S_{l}+\pi (R^{2}+r^{2}).}

È dato un tronco di cono mwlwT in cui mwmaR sia il raggio della base maggiore, mwmqr quello della minore e mwmgh l'altezza.

Si prolunghi la superficie laterale dalla parte di mwnar fino ad ottenere il cono mwnqVmwng1 di base in mwnwR e altezza pari a mwoah + hmwoq2, in cui mwoghmwow2 è l'altezza del cono mwpaVmwpq2 con base in mwpgr. Il volume del tronco è quindi:

mwqa V T = V 1 − − V 2 {\displaystyle V_{T}=V_{1}-V_{2}}

I triangoli di lati mwqgr e mwqwhmwra2 e di lati mwrqh e mwrgR-r sono simili, poiché hanno tutti gli angoli uguali. Pertanto possiamo scrivere:

mwsa h : ( R − − r ) = h 2 : r {\displaystyle h:(R-r)=h_{2}:r}

Per cui: mwsg h 2 = h r R − − r {\displaystyle h_{2}={\frac {hr}{R-r}}}

Partendo dalla formula del volume del cono:

mwtq V 1 = π π R 2 ( h + h 2 ) 3 {\displaystyle V_{1}={\frac {\pi R^{2}(h+h_{2})}{3}}}

mwtw V 2 = π π r 2 h 2 3 {\displaystyle V_{2}={\frac {\pi r^{2}h_{2}}{3}}}

Sostituendo in mwuqhmwug2:

mwva V 1 = π π R 2 h 3 + π π R 2 h r 3 ( R − − r ) {\displaystyle V_{1}={\frac {\pi R^{2}h}{3}}+{\frac {\pi R^{2}hr}{3(R-r)}}}

mwvg V 2 = π π r 2 h r 3 ( R − − r ) {\displaystyle V_{2}={\frac {\pi r^{2}hr}{3(R-r)}}}

Tornando alla formula iniziale:

mwwq V T = π π R 2 h 3 + π π R 2 h r 3 ( R − − r ) − − π π r 2 h r 3 ( R − − r ) {\displaystyle V_{T}={\frac {\pi R^{2}h}{3}}+{\frac {\pi R^{2}hr}{3(R-r)}}-{\frac {\pi r^{2}hr}{3(R-r)}}}

mwww V T = π π h 3 ( R 2 + R 2 r R − − r − − r 3 R − − r ) {\displaystyle V_{T}={\frac {\pi h}{3}}(R^{2}+{\frac {R^{2}r}{R-r}}-{\frac {r^{3}}{R-r}})}

mwxq V T = π π h 3 R 3 − − R 2 r + R 2 r − − r 3 R − − r {\displaystyle V_{T}={\frac {\pi h}{3}}{\frac {R^{3}-R^{2}r+R^{2}r-r^{3}}{R-r}}}

mwxw V T = π π h 3 R 3 − − r 3 R − − r {\displaystyle V_{T}={\frac {\pi h}{3}}{\frac {R^{3}-r^{3}}{R-r}}}

mwyq V T = π π h 3 ( R − − r ) ( R 2 + r 2 + R r ) R − − r {\displaystyle V_{T}={\frac {\pi h}{3}}{\frac {(R-r)(R^{2}+r^{2}+Rr)}{R-r}}}

mwyw V T = π π h 3 ( R 2 + r 2 + R r ) {\displaystyle V_{T}={\frac {\pi h}{3}}(R^{2}+r^{2}+Rr)}

La formula per calcolare il volume di un tronco di cono ellittico è la seguente:

mwzw V = π π 3 { r 3 tan ⁡ ⁡ α α − − 1 2 b [ 4 a 2 − − ( H − − h ) 2 ( r tan ⁡ ⁡ α α − − h ) − − ( H − − h ) ( r − − h cot ⁡ ⁡ α α ) ] } {\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}\left\{r^{3}\tan {\alpha }-{\frac {1}{2}}b\left[{\sqrt {4a^{2}-(H-h)^{2}}}(r\tan {\alpha }-h)-(H-h)(r-h\cot {\alpha })\right]\right\}}

dove V è il volume del tronco di cono, r è il raggio, α è l'inclinazione dell'apotema del cono sezionato, a e b sono i semiassi dell'ellisse ottenuta dal sezionamento del cono e H e h sono rispettivamente l'altezza massima e minima del tronco di cono.

Un cilindro può essere pensato come un tronco di cono con basi di uguali dimensioni. Partendo quindi dalla formula del volume di un tronco di cono C per il quale il raggio R risulta anche uguale a r, si ha:

mwba V C = π π h 3 ( R 2 + R 2 + R R ) {\displaystyle V_{C}={\frac {\pi h}{3}}(R^{2}+R^{2}+RR)}

mwbg V C = π π h 3 ( 3 R 2 ) {\displaystyle V_{C}={\frac {\pi h}{3}}(3R^{2})}

mwca V C = π π h R 2 {\displaystyle V_{C}=\pi hR^{2}}

che è la formula del volume di un cilindro.

• mwdqCono

• mwdwCono Morse

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su tronco di cono

• mwfaMath.it - FORMULARIO: Geometria Solida. Solidi di rotazione. (Cilindro, cono, tronco di cono, sfera), su math.it.

• mwfgFormulario Cilindro, Cono e Tronco di Cono, su labandadeisei.it.